Funktionen

Definition

Seien A, B Mengen

Eine Abbildung / Funktion f ist eine Relation, so dass zu jedem a ∈ A genau ein b ∈ B existiert mit (a,b) ∈ f.

Schreibweise: f:A –> B

f(a) – eindeutiges Element, Bild von a
a – Urbild von f(a)

a – Definitionsbereich von f
B – Werte- und Bildbereich von f

f(A) = {b ∈ B: ∃ a ∈ A mit f(a)=b} heißt
Bild von A unter f

Definition: Komposition

Seien A, B, C Mengen und f:A –> B, g:B –> C Abbildungen, so ist

g • f {A–>C und a –>g(f(a))

eine Abbildung, die Komposition, Verknüpfung, Verkettung, Hintereinanderausführung von f und g

Definition: Projektion

Seien X1, X2, … , Xn Mengen so ist

pi : {X1 x X2 x … x Xn –> Xi und (x1, x2, … , xn) –> xi

eine Abbildung, die i-te kanonische Projektion

Bsp. A = X1 x X2 x X3 und B = X2 und x1=21, x2=345 und x3=42
p (x1, x2, x3) = p2 (21,345,42) = 345
p1 (21,345,42) = 21
p3 (21,345,42) = 42

Eigenschaften von Abbildungen

surjektiv – ∀ b ∈ B ⇒ a ∈ A mit f(a) ? b

injektiv – ∀ a,b ∈ A : f(a) = f(b) ⇒ a=b
∀ a,b ∈ A : ¬b = ¬a

bijektiv, falls f surjektiv und injektiv ist

Definition: Umkehrabbildung

f:A –> B sei eine Bijektion
f-1 : { B–> und b –> f-1(b)

f-1(fa)) = a
f(f-1(b)) = b

Funktionen können auf verschiedenen Weisen definiert werden (Rekursion, Tabelle, Fallunterscheidung)

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