Definition
Seien A, B Mengen
Eine Abbildung / Funktion f ist eine Relation, so dass zu jedem a ∈ A genau ein b ∈ B existiert mit (a,b) ∈ f.
Schreibweise: f:A –> B
f(a) – eindeutiges Element, Bild von a
a – Urbild von f(a)a – Definitionsbereich von f
B – Werte- und Bildbereich von ff(A) = {b ∈ B: ∃ a ∈ A mit f(a)=b} heißt
Bild von A unter f
Definition: Komposition
Seien A, B, C Mengen und f:A –> B, g:B –> C Abbildungen, so ist
g • f {A–>C und a –>g(f(a))
eine Abbildung, die Komposition, Verknüpfung, Verkettung, Hintereinanderausführung von f und g
Definition: Projektion
Seien X1, X2, … , Xn Mengen so ist
pi : {X1 x X2 x … x Xn –> Xi und (x1, x2, … , xn) –> xi
eine Abbildung, die i-te kanonische Projektion
Bsp. A = X1 x X2 x X3 und B = X2 und x1=21, x2=345 und x3=42
p (x1, x2, x3) = p2 (21,345,42) = 345
p1 (21,345,42) = 21
p3 (21,345,42) = 42
Eigenschaften von Abbildungen
surjektiv – ∀ b ∈ B ⇒ a ∈ A mit f(a) ? b
injektiv – ∀ a,b ∈ A : f(a) = f(b) ⇒ a=b
∀ a,b ∈ A : ¬b = ¬a
bijektiv, falls f surjektiv und injektiv ist
Definition: Umkehrabbildung
f:A –> B sei eine Bijektion
f-1 : { B–> und b –> f-1(b)
f-1(fa)) = a
f(f-1(b)) = b
Funktionen können auf verschiedenen Weisen definiert werden (Rekursion, Tabelle, Fallunterscheidung)