Mengen

Definition: Menge

Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten, den Elementen von A

Bezeichnungen:
Mengen – große lateinische Buchstaben
Elemente – kleine lateinische Buchstaben
a ∈ A: a ist element von A
a ∉ A: a ist kein Element von A
A = {a1, …, an} it eine endliche Menge mit Kardinalität |A| := n

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Schreibweisen, Notationen, Summenformeln

Definition: Summenzeichen

n

Σ ai := a1 +a2 + … + an

i=1

Defintion: Produktzeichen

n

Π ai := a1 * a2 * … * an

i=1

Gauß-Reihe, Gaußsche-Summenformel

1 + 2 + … + (n-1) + n = n(n+1)/2

Geometrische Reihe, geometrische Summenformel

q0 + q1 + … + qn = qn+1 -1 / q -1

Beweise

Direkter Beweis – Implikationskette

Indirekter Beweis – mannt nimmt an dass A falsch ist, und zeigt dass sich daraus etwas bekannt falsches ableitet – da ¬A falsch ist, muss also A wahr sein

Beweis durch Kontraposition – negieren und vertauschen der Aussagen

Vollständige Induktion – gleichzeitiger Beweis von unendlich vielen Aussagen gleichzeitig

Induktionsverankerung/Induktionsanfang: Nachweis dass A(1) gilt

Induktionsschritt/Induktionsschluss: Nachweis, dass A(n) ⇒A(n+1) gilt

Logik und Aussagen

Die Regeln der Logik bilden die Grundlage mathematischen Argumentierens

Anwendungen

  • Schaltkreiseentwurf
  • Programmiersprachen
  • Verifikation

Definition: Aussagen

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, dem genau einer der Wahrheitswerte wahr (w) oder falsch (f) zugeordnet ist.

Bsp.

  • 2 ist eine gerade Zahl – wahre Aussage
  • Bananen sind blau – falsche Aussage
  • nachts ist es kälter als draußen – keine Aussage

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