Volkswirtschafts-Lehre

  • Was kann produziert werden? (Effizienzziel)
  • Was wird produziert? (Effizienziel)
  • Ursachen von Arbeitslosigkeit? (Vollbeschäftigung)
  • Ursachen von Inflation? (Preisniveaustabilität)
  • Wie kann die Gütermenge erhöht werden? (Wachstumsziel)
  • Einkommensverteilung (Verteilungsgerechtigkeit)
  • Wodurch entsteht Außenhandel? (Freihandelsziel)
  • Wirkungen von Preis-, Zins- und Wechselkursänderungen auf internationale Transaktionen (Zahlungsbilanzziel)
  • Institutionelle Rahmenbedingungen zur Erreichung wirtschaftlicher Ziele (Wirtschaftsordnung; Freiheitsziel, Gerechtigkeit, Güterversorgung)

Wachstums- und Stabilitätsgesetz fasst Vollbeschäftigung, Preisniveaustabilität und Wachstumsziel zusammen –> magisches Viereck der Wirtschaftspolitik

Arithmetik, Algebra, Primzahlen, Zahlensysteme

Rechenoperationen und – gesetze lassen sich auch für Mengen, Vektoren, Matrizen, Wörter, Permutationen, Restklassen angeben – Untersuchung zugrunde liegender algebraischer Strukturen

Bsp. für Operationen:

Ist * die Addition von Zahlen, so ist * eine binäre Operation auf N, Q , R
Ist * die Subtraktion von Zahlen, so ist * eine binäre Operation auf Z, Q , R, aber nicht auf N
Ist A = Z und ist a * b := max(a,b) so ist * eine binäre Operation auf Z

Ganzzahlige Division / Division mit Rest

Seien a,b ∈ Z, b ≠ 0
b teilt a i.Z. b|a , falls ∃q ∈ Z mit a = q*b

b – Teiler von a
a – Vielfaches von b

c|b ∧ b|a ⇒ c|a
b1|a1 ∧ b2|a2 ⇒ b1*b2|a1*a2
b|a1 ∧ b|a2 ⇒ b|(s*a1+t*a2)    ∀ s,t ∈ Z
a|b ∧ b|a  ⇒ |a|=|b|

Kombinatorik

Satz: Produktregel

k endliche Mengen A1, … , Ak, jeweils n1, … , nk Elemente

Die Anzahl der Möglichkeiten aus jeder Menge genau ein Element zu wählen ist
n1 * n2 * … * nk = ∏ni (i=1 bis k)

Definition: n-Menge := endliche Menge mit n Elementen – Kardinalität: 2hochn

„Kombinatorik“ weiterlesen

Funktionen

Definition

Seien A, B Mengen

Eine Abbildung / Funktion f ist eine Relation, so dass zu jedem a ∈ A genau ein b ∈ B existiert mit (a,b) ∈ f.

Schreibweise: f:A –> B

f(a) – eindeutiges Element, Bild von a
a – Urbild von f(a)

a – Definitionsbereich von f
B – Werte- und Bildbereich von f

f(A) = {b ∈ B: ∃ a ∈ A mit f(a)=b} heißt
Bild von A unter f

„Funktionen“ weiterlesen

Relationen

Beziehungen zwischen Objekten

Äquivalenzrelation – Objekte mit bestimmten Eigenschaften werden als gleich angesehen

Ordnungsrelation – Objekte ordnen hinsichtlich Größe, Schlüsselwert, lexikographisch

Kartesisches Produkt – Kreuzprodukt
Seien A und B nicht leere Mengen

Ist a ∈ A und b ∈ B so ist (a,b) ein geordnetes Paar, geordentes 2-Tupel, geordnetes Tupel, Tupel

A X B := {(a,b): a ∈ A und b ∈B} ist die Menge aller geordneten Paare, das kartesische Produkt von A und B

Ist A =B so schreibt man A X B als A²

Seien n ∈ N und X1, X2, …, Xn nichtleere Mengen

∏Xi := X1 x X2 x … x Xn = {(x1,…,xn): xi ∈ Xi   für 1 ≤ i ≤ n}

Die Elemente (x1, … , xn) von ∏Xi heißen geordnete n-Tupel.

„Relationen“ weiterlesen

Mengen

Definition: Menge

Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten, den Elementen von A

Bezeichnungen:
Mengen – große lateinische Buchstaben
Elemente – kleine lateinische Buchstaben
a ∈ A: a ist element von A
a ∉ A: a ist kein Element von A
A = {a1, …, an} it eine endliche Menge mit Kardinalität |A| := n

„Mengen“ weiterlesen

Schreibweisen, Notationen, Summenformeln

Definition: Summenzeichen

n

Σ ai := a1 +a2 + … + an

i=1

Defintion: Produktzeichen

n

Π ai := a1 * a2 * … * an

i=1

Gauß-Reihe, Gaußsche-Summenformel

1 + 2 + … + (n-1) + n = n(n+1)/2

Geometrische Reihe, geometrische Summenformel

q0 + q1 + … + qn = qn+1 -1 / q -1

Beweise

Direkter Beweis – Implikationskette

Indirekter Beweis – mannt nimmt an dass A falsch ist, und zeigt dass sich daraus etwas bekannt falsches ableitet – da ¬A falsch ist, muss also A wahr sein

Beweis durch Kontraposition – negieren und vertauschen der Aussagen

Vollständige Induktion – gleichzeitiger Beweis von unendlich vielen Aussagen gleichzeitig

Induktionsverankerung/Induktionsanfang: Nachweis dass A(1) gilt

Induktionsschritt/Induktionsschluss: Nachweis, dass A(n) ⇒A(n+1) gilt

Logik und Aussagen

Die Regeln der Logik bilden die Grundlage mathematischen Argumentierens

Anwendungen

  • Schaltkreiseentwurf
  • Programmiersprachen
  • Verifikation

Definition: Aussagen

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, dem genau einer der Wahrheitswerte wahr (w) oder falsch (f) zugeordnet ist.

Bsp.

  • 2 ist eine gerade Zahl – wahre Aussage
  • Bananen sind blau – falsche Aussage
  • nachts ist es kälter als draußen – keine Aussage

„Logik und Aussagen“ weiterlesen