Funktionen

Definition

Seien A, B Mengen

Eine Abbildung / Funktion f ist eine Relation, so dass zu jedem a ∈ A genau ein b ∈ B existiert mit (a,b) ∈ f.

Schreibweise: f:A –> B

f(a) – eindeutiges Element, Bild von a
a – Urbild von f(a)

a – Definitionsbereich von f
B – Werte- und Bildbereich von f

f(A) = {b ∈ B: ∃ a ∈ A mit f(a)=b} heißt
Bild von A unter f

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Relationen

Beziehungen zwischen Objekten

Äquivalenzrelation – Objekte mit bestimmten Eigenschaften werden als gleich angesehen

Ordnungsrelation – Objekte ordnen hinsichtlich Größe, Schlüsselwert, lexikographisch

Kartesisches Produkt – Kreuzprodukt
Seien A und B nicht leere Mengen

Ist a ∈ A und b ∈ B so ist (a,b) ein geordnetes Paar, geordentes 2-Tupel, geordnetes Tupel, Tupel

A X B := {(a,b): a ∈ A und b ∈B} ist die Menge aller geordneten Paare, das kartesische Produkt von A und B

Ist A =B so schreibt man A X B als A²

Seien n ∈ N und X1, X2, …, Xn nichtleere Mengen

∏Xi := X1 x X2 x … x Xn = {(x1,…,xn): xi ∈ Xi   für 1 ≤ i ≤ n}

Die Elemente (x1, … , xn) von ∏Xi heißen geordnete n-Tupel.

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Mengen

Definition: Menge

Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten, den Elementen von A

Bezeichnungen:
Mengen – große lateinische Buchstaben
Elemente – kleine lateinische Buchstaben
a ∈ A: a ist element von A
a ∉ A: a ist kein Element von A
A = {a1, …, an} it eine endliche Menge mit Kardinalität |A| := n

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Schreibweisen, Notationen, Summenformeln

Definition: Summenzeichen

n

Σ ai := a1 +a2 + … + an

i=1

Defintion: Produktzeichen

n

Π ai := a1 * a2 * … * an

i=1

Gauß-Reihe, Gaußsche-Summenformel

1 + 2 + … + (n-1) + n = n(n+1)/2

Geometrische Reihe, geometrische Summenformel

q0 + q1 + … + qn = qn+1 -1 / q -1

Beweise

Direkter Beweis – Implikationskette

Indirekter Beweis – mannt nimmt an dass A falsch ist, und zeigt dass sich daraus etwas bekannt falsches ableitet – da ¬A falsch ist, muss also A wahr sein

Beweis durch Kontraposition – negieren und vertauschen der Aussagen

Vollständige Induktion – gleichzeitiger Beweis von unendlich vielen Aussagen gleichzeitig

Induktionsverankerung/Induktionsanfang: Nachweis dass A(1) gilt

Induktionsschritt/Induktionsschluss: Nachweis, dass A(n) ⇒A(n+1) gilt

Logik und Aussagen

Die Regeln der Logik bilden die Grundlage mathematischen Argumentierens

Anwendungen

  • Schaltkreiseentwurf
  • Programmiersprachen
  • Verifikation

Definition: Aussagen

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, dem genau einer der Wahrheitswerte wahr (w) oder falsch (f) zugeordnet ist.

Bsp.

  • 2 ist eine gerade Zahl – wahre Aussage
  • Bananen sind blau – falsche Aussage
  • nachts ist es kälter als draußen – keine Aussage

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