Rechenoperationen und – gesetze lassen sich auch für Mengen, Vektoren, Matrizen, Wörter, Permutationen, Restklassen angeben – Untersuchung zugrunde liegender algebraischer Strukturen Bsp. für Operationen: Ist * die Addition von Zahlen, so ist * eine binäre Operation auf N, Q , R Ist * die Subtraktion von Zahlen, so ist * eine binäre Operation auf Z, […]
Monat: August 2008
Kombinatorik
Satz: Produktregel k endliche Mengen A1, … , Ak, jeweils n1, … , nk Elemente Die Anzahl der Möglichkeiten aus jeder Menge genau ein Element zu wählen ist n1 * n2 * … * nk = ∏ni (i=1 bis k) Definition: n-Menge := endliche Menge mit n Elementen – Kardinalität: 2hochn Related Images:
Funktionen
Definition Seien A, B Mengen Eine Abbildung / Funktion f ist eine Relation, so dass zu jedem a ∈ A genau ein b ∈ B existiert mit (a,b) ∈ f. Schreibweise: f:A –> B f(a) – eindeutiges Element, Bild von a a – Urbild von f(a) a – Definitionsbereich von f B – Werte- und […]
Relationen
Beziehungen zwischen Objekten Äquivalenzrelation – Objekte mit bestimmten Eigenschaften werden als gleich angesehen Ordnungsrelation – Objekte ordnen hinsichtlich Größe, Schlüsselwert, lexikographisch Kartesisches Produkt – Kreuzprodukt Seien A und B nicht leere Mengen Ist a ∈ A und b ∈ B so ist (a,b) ein geordnetes Paar, geordentes 2-Tupel, geordnetes Tupel, Tupel A X B := […]
Mengen
Definition: Menge Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten, den Elementen von A Bezeichnungen: Mengen – große lateinische Buchstaben Elemente – kleine lateinische Buchstaben a ∈ A: a ist element von A a ∉ A: a ist kein Element von A A = {a1, …, an} it eine endliche Menge mit Kardinalität |A| := n Related Images:
Schreibweisen, Notationen, Summenformeln
Definition: Summenzeichen n Σ ai := a1 +a2 + … + an i=1 Defintion: Produktzeichen n Π ai := a1 * a2 * … * an i=1 Gauß-Reihe, Gaußsche-Summenformel 1 + 2 + … + (n-1) + n = n(n+1)/2 Geometrische Reihe, geometrische Summenformel q0 + q1 + … + qn = qn+1 -1 / […]
Beweise
Direkter Beweis – Implikationskette Indirekter Beweis – mannt nimmt an dass A falsch ist, und zeigt dass sich daraus etwas bekannt falsches ableitet – da ¬A falsch ist, muss also A wahr sein Beweis durch Kontraposition – negieren und vertauschen der Aussagen Vollständige Induktion – gleichzeitiger Beweis von unendlich vielen Aussagen gleichzeitig Induktionsverankerung/Induktionsanfang: Nachweis dass […]
Logik und Aussagen
Die Regeln der Logik bilden die Grundlage mathematischen Argumentierens Anwendungen Schaltkreiseentwurf Programmiersprachen Verifikation … Definition: Aussagen Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, dem genau einer der Wahrheitswerte wahr (w) oder falsch (f) zugeordnet ist. Bsp. 2 ist eine gerade Zahl – wahre Aussage Bananen sind blau – falsche Aussage nachts ist es kälter als draußen […]