Logik und Aussagen

Die Regeln der Logik bilden die Grundlage mathematischen Argumentierens

Anwendungen

  • Schaltkreiseentwurf
  • Programmiersprachen
  • Verifikation

Definition: Aussagen

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, dem genau einer der Wahrheitswerte wahr (w) oder falsch (f) zugeordnet ist.

Bsp.

  • 2 ist eine gerade Zahl – wahre Aussage
  • Bananen sind blau – falsche Aussage
  • nachts ist es kälter als draußen – keine Aussage

Definition: Verknüpfung von Aussagen

Mit Hilfe logischer Operatoren erhält man neue Aussage aus vorhandenen. Sind A und B Aussagen, so erhält man folgende Aussagen:

„nicht A“ – A ist falsch = nicht A
„Negation“ ¬A ↔‾A

„A und B “ – A und B sind beide wahr
„Konjunktion“ A ∧ B ↔ A ⋅ B

„A oder B“  – A oder B oder beide sind wahr
„Disjunktion“ A ∨ B ↔ A + B

„A xor B“ – entweder A oder B sind wahr
„Exklusives Oder“ A ∨ B ↔ A ⊕ B

„A impliziert B“ – aus A folgt B
„Implikation“ – A ⇒ A ↔ A → B

ist immer wahr, falls A falsch ist
ist nur falsch, falls A wahr und B falsch ist

„A ist äquivalent zu B“ „A genau dann wenn B“
„Äquivalenz“ – A ⇔ B

A und B verhalten sich genau gleich

Wahrheitstafeln – überprüfen der Wahrheitswerte von verknüpften Aussagen mit 0 für falsch und 1 für wahr („positive Logik“)

A – B  – ¬A – A ∧ B – A ∨ B – A ⊕ B – A ⇒ B – A ⇔ B
0    0     1        0          0           0           1           1
0    1     1        0          1           1           1           0
1    0     0        0          1           1           0           0
1    1     0        1          1           0           1           1

Reihenfolge der Ausführung logischer Operatoren wird festgelegt über Prioritäten und Klammern

Operatoren nach absteigender Prio:
¬ , ∧ , (∨ , ⊕), (⇒, ⇔)

Bsp. A ∧ B ⇒ ¬A ∨ B ⇔ (A ∧ B) ⇒ ((¬A) ∨ B)

A, B, C – Aussagevariablen
w und f – logische Konstanten
logische Formel: Verknüpfung von log. Konstanten und Variablen
durch Einsetzen konkreter Aussagen ergibt sich eine zusammengesetze Aussage

Definition: Tautologie

Beim Einsetzen konkreter Aussagen ergibt sich unabhängig von den konkreten Wahrheitswerten immer eine wahre Aussage!

Definition: Widerspruch

Beim Einsetzen konkreter Aussagen ergibt sich unabhängig von den konkreten Wahrheitswerten immer eine falsche Aussage!

Folgende Formeln sind Tautologien:

Assoziativgesetz – Klammern verschieben

(A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)
(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C)

Kommutativgesetz – vertauschen von Elementen

A ∧ B ⇔ B ∧ A
A ∨ B ⇔ B ∨ A

Distributivgesetz – Klammern ausmultiplizieren

A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Identitätsgesetz – nur für Aussagen

A ∨ f ⇔ A – A oder f / A plus 0
A ∧ w ⇔ A  – A und w / A * 1

Komplementgesetz

A ∨ ¬A ⇔ w
Satz vom ausgeschlosennen Dritten („Sein oder nicht sein“)

A ∧ ¬A ⇔ f
Satz vom Widerspruch („etwas kann ncith glz. wahr und flasch sein“)

De Morgan’sche Gesetze

¬(A ∨ B) ¬A ∧ ¬B
wenn ich A oder B nicht will, will ich beide nicht

¬(A ∧ B) ¬A ∨ ¬B
wenn ich A und B nicht will, will A nicht oder B nicht

Indempotenz

A ∨ A ⇔ A (ein A „wegkürzen“)
A ∧ A ⇔ A

Doppelte Verneinung

¬(¬A) ⇔ A (nicht nicht A = A)

Kontraposition („Verneinen und Umdrehen“)

A ⇒ B ⇔ (¬B ¬A)

Kommentar verfassen